آزمون ديکي فولر[1]

آزمون دیکی فولر یکی از پرکاربردترین آزمون ها برای بررسی مانایی است.

استفاده از روش برآورد OLS در کارهای تجربی بر این فرض استوار است که متغیرهای سری زمانی مورد استفاده مانا هستند.

اولین قدم در راستای تعیین مانایی یک متغیر، مشاهده­ی نمودار سری زمانی آن متغیر است.

تشخیص وجود روند تصادفی در یک سری زمانی به سادگی از طریق آزمون ریشه واحد امکان­پذیر است.

اکنون به شرح روش­های مختلف آزمون مانایی می­پردازیم.

فرآیند خود توضیح مرتبه اول زیر را، در نظر بگیرید:

برای آزمون اینکه سری زمانی yt دارای ریشه واحد است و یا به عبارت دیگر نامانا است، آزمون فرضیه زیر را تشکیل می­دهیم:

پارامتر ρ را می­توان به روش حداقل مربعات معمولی (OLS) به صورت زیر برآورد کرد.

این برآوردکننده به گونه ­ای است که وقتی n افزایش می­ یابد، توزیع احتمال آماره­ ی:   به سمت توزیع احتمال نرمال با میانگین صفر و واریانسمیل می­کند.

آمارۀتحت این فرض که H0 درست است؛ یعنی ρ=1 است؛ متاسفانه دارای توزیع احتمال حدی نرمال نیست و شکل استانداردی ندارد.

بنابراین برای انجام آزمون نمی­توان از کمیت­های بحرانی ارائه شده توسط توزیع نرمال و یا t استفاده کرد.

برای انجام آزمون دیکی فولر (1979) براساس برآوردکنندۀ ، آماره­ ی زیر را پیشنهاد کرده­ اند:

 این آماره­ دارای یک توزیع حدی است و کمیت­های بحرانی آن برای آزمون ریشه واحد یا ρ=1 توسط دیکی فولر به کمک روش­های شبیه ­سازی به دست آمده و جدول­بندی شده است.

توجه داشته باشید وقتی که  است و در نتیجۀ فرآیند مانا است، توزیع احتمال برآوردکنندۀ ˆρ به صورت   است.

برای آزمون دیکی فولر رابطه رگرسیون را به یکی از سه شکل زیر برآورد می­کنیم:

که در آن t روند زمانی است.

در هر یک از موارد فوق فرضیه صفر ρ=1 و یا δ=0 است، یعنی بین فرضیه صفر عبارت از وجود ریشه واحد (نامانایی) است.

در معادلات فوق اگر قدرمطلق ρ کوچکتر از یک باشد،

آنگاه روابط  i و ii مبین یک فرآیند خود توضیح برداری مانا و رابطه iii یک فرآیند خود توضیح مانا در حول و حوش روند زمانی است وقتی که β≠0 است.

اما اگر در معادلات فوق ρ=1 باشد، آنگاه براساس yt، i یک فرآیند جمعی از مرتبه یک است و در واقع گام تصادفی است.

براساس yt ، ii یک فرآیند گام تصادفی با رانش است

و براساس yt ، iii یک فرآیند گام تصادفی حول و حوش یک روند زمانی است. تمیز اختلاف بین روابط فوق و اصطلاحات به کار گرفته شده در هر مورد مهم است.

آزمون دیکی فولر تعمیم یافته[2]

برای آزمون نامانایی ابتدا فرض را بر این قرار می­دهیم که سری زمانی مورد بحث دارای یک فرآیند خود توضیح مرتبه اول است و سپس فرضیه ρ=1 را بر آن اساس آزمون می­کردیم.

اکنون اگر این فرض صحیح نباشد و سری زمانی تحت بررسی دارای فرآیند خود توضیح مرتبه ρ باشد، رابطه مورد برآورد برای آزمون ρ از تصریح پویایی صحیح برخوردار نخواهد بود.

این امر موجب خواهد شد تا جملات خطای رگرسیون دچار خود همبستگی شوند.

وقتی جملات خطا دارای خود همبستگی باشند، دیگر نمی­توان از آزمون دیکی فولر برای پایایی استفاده کرد زیرا در این حالت دیگر توزیع حدی و کمیت­های بحرانی به دست آمده توسط دیکی و فولر صادق نیست.

دیکی و فولر (1981) نشان دادند که وقتی که جملات اخلال Ut خود همبسته هستند در صورتی که الگوی تعمیم یافته دیکی-فولر استفاده شود، توزیع حدی و کمیت­های بحرانی به دست آمده توسط ایشان باز هم صادق است.

اکنون فرض کنید جمله اخلال Ut مربوط به رابطه رگرسیون؛ یعنی:

دارای فرآیند خود توضیح پایایی از مرتبه ρ به صورت زیر باشد:

که در آن  یک فرآیند II D است (یعنی εtها به صورت همانند و مستقل از یکدیگر توزیع شده ­اند).

حال چنانچه رابطه بالا را در رابطه قبلی جانشین کنیم، خواهیم داشت:

اگر فرضیه  صادق باشد نتیجه می­شود که:

بر این اساس رابطه آخر را می­توان به صورت زیر نوشت:

دیکی و فولر نشان می­دهند که برای آزمون ρ=1 و یا به عبارت دیگر δ=0 در رابطه فوق، آمارۀ t محاسبه شده همان توزیع غیراستاندارد حدی τ3 را دارد.

بنابراین مقادیر بحرانی برای آزمون δ=0 همان مقادیر بحرانی مربوط به آمارۀ τ3 است.

فابل آموزشی با نرم افزار ایویوز

فایل آموزشی با نرم افزار استاتا

[1] . Dickey-Fuller Test

[2] . Augmented Dickey-Fuller Test